为什么 1 不是质数？
本文发表在《大众科学》的前博客网络上，反映了作者的观点，不一定代表《大众科学》的观点
我的一位工程师朋友最近惊讶地告诉我，他不确定数字 1 是否是质数。我感到惊讶，因为在数学家中，1 被普遍认为是非质数。
困惑始于人们可能给出的“质数”的定义：质数是一个只能被 1 和自身整除的正整数。数字 1 可以被 1 整除，也可以被自身整除。但是自身和1不是两个不同的因子。1 是质数吗？当我在文章中写下质数的定义时，我试图通过说质数恰好有两个不同的因子，1 和它本身，或者说质数是大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除来消除这种歧义。但是，为什么要费尽周折地排除 1 呢？
我的数学训练告诉我，不将 1 视为质数的充分理由是算术基本定理，该定理指出，每个数字都可以用质数的乘积以一种方式精确地写出。如果 1 是质数，我们将失去这种唯一性。我们可以将 2 写成 1×2，或 1×1×2，或 1594827×2。从质数中排除 1 可以使之变得平滑。
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我原本计划这篇文章的走向是，我会解释算术基本定理，然后就结束了。但是，修改算术基本定理的陈述来解决 1 的问题真的不是那么困难，而且，毕竟，我朋友的问题激起了我的好奇心：数学家是如何在质数的定义上达成一致的？粗略浏览一些与数论相关的维基百科页面，发现有人断言 1 曾经被认为是质数，但现在不是了。但是克里斯·考德威尔 (Chris Caldwell) 和颜雄 (Yeng Xiong) 的一篇论文表明，这个概念的历史要复杂得多。我赞赏他们文章开头的这种观点：“首先，一个数（尤其是单位）是否是质数是一个定义问题，因此是一个选择、语境和传统的问题，而不是一个证明问题。然而，定义不是随意做出的；这些选择受我们数学的使用所约束，尤其是在这种情况下，受我们的符号所约束。”
考德威尔和熊从古典希腊数学家开始。他们不认为 1 与 2、3、4 等数字一样是数字。1 被认为是一个单位，一个数字由多个单位组成。因此，1 不可能是质数——它甚至不是一个数字。九世纪的阿拉伯数学家阿尔·金迪 (al-Kindī)写道，它不是一个数字，因此甚至不是偶数或奇数。1 是所有数字的构建块，但本身不是数字的观点持续了几个世纪。
1585 年，佛兰德数学家西蒙·斯蒂文 (Simon Stevin) 指出，当以 10 为基数进行算术运算时，数字 1 与任何其他数字之间没有区别。出于所有目的，1 的行为与任何其他量级一样。尽管这并非立即发生，但这一观察最终导致数学家将 1 视为一个数字，就像任何其他数字一样。
直到 19 世纪末，一些令人印象深刻的数学家认为 1 是质数，而另一些则不认为。据我所知，这并不是一个引起冲突的问题；对于最流行的数学问题，这种区别并不是非常重要。考德威尔和熊引用 G. H. 哈代 (G. H. Hardy) 作为最后一个将 1 视为质数的主要数学家。（他在 1908 年至 1933 年间出版的《纯粹数学课程》的前六版中明确将其列为质数。他在 1938 年更新了定义，使 2 成为最小的质数。）
这篇文章提到了但没有深入探讨数学中的一些变化，这些变化有助于巩固质数的定义并排除 1。具体来说，一个重要的变化是开发了超出整数范围的、行为有点像整数的数字集。
在最基本的例子中，我们可以问数字 -2 是否是质数。这个问题似乎毫无意义，但它可以促使我们用文字表达 1 在正整数中的独特作用。1 在正整数中最不寻常的方面是它有一个也是整数的乘法逆元。（数字x的乘法逆元是一个与x相乘得到 1 的数字。数字 2 在有理数或实数集中有一个乘法逆元 1/2：1/2×2=1，但是 1/2 不是整数。）数字 1 恰好是它自己的乘法逆元。没有其他正整数在整数集中具有乘法逆元。*具有乘法逆元的性质被称为单位。数字 -1 也是整数集中的一个单位：同样，它是它自己的乘法逆元。我们不认为单位是质数或合数，因为你可以将它们乘以某些其他单位而不会改变太多。然后，我们可以认为数字 -2 与 2 并没有太大的不同；从乘法的角度来看，-2 只是 2 乘以一个单位。如果 2 是质数，-2 也应该是质数。
我在上一段中刻意避免定义质数，因为在这些更大的数字集中，质数的定义存在一个不幸的事实：它是错误的！嗯，它不是错误的，但它有点违反直觉，如果我是数论女王，我就不会选择让这个术语具有现在的定义。在正整数中，每个质数 p 都有两个属性
数字 p 不能写成两个正整数的乘积，其中任何一个都不是单位。
每当乘积 m×n 可以被 p 整除时，则 m 或 n 必须可以被 p 整除。（要检查此属性在示例中的含义，请想象 m=10、n=6 和 p=3。）
这些属性中的第一个是我们可能认为用来表征质数的方法，但不幸的是，该属性的术语是不可约。第二个属性称为质数。当然，在正整数的情况下，相同的数字满足这两个属性。但这对于每个有趣的数字集都不成立。
举个例子，让我们看一下形式为 a+b√-5 或 a+ib√5 的数字集合，其中 a 和 b 都是整数，而 i 是 -1 的平方根。如果你将数字 1+√-5 和 1-√-5 相乘，你会得到 6。当然，如果你将 2 和 3 相乘，你也会得到 6，这两个数也在这个数字集中，b=0。数字 2、3、1+√-5 和 1-√-5 中的每一个都不能进一步分解，并写成非单位的数字的乘积。（如果你不相信我，也不难说服你自己。）但是乘积 (1+√-5)(1-√-5) 可以被 2 整除，而 2 不能整除 1+√-5 或 1-√-5。（再一次，如果你不相信我，你可以自己证明它。）因此 2 是不可约的，但它不是质数。在这个数字集合中，6 可以以两种不同的方式分解为不可约数。
上面的数字集，数学家可能将其称为 Z[√-5]（发音为“zee adjoin negative five 的平方根”或“zed adjoin negative five 的平方根，pip pip，cheerio”，具体取决于你喜欢如何称呼字母表的最后一个字母），有两个单位，1 和 -1。但是存在类似的具有无限个单位的数字集。随着这样的集合成为研究的对象，单位、不可约和质数的定义需要仔细界定是有道理的。特别是，如果存在具有无限个单位的数字集，则除非我们澄清单位不能是质数，否则很难弄清楚我们所说的数字的唯一分解是什么意思。虽然我不是数学历史学家或数论家，并且很想阅读更多关于这个过程是如何发生的资料，然后再做进一步的推测，但我认为这是考德威尔和熊暗示的促使 1 被排除在质数之外的一个发展。
正如经常发生的那样，我对事情为何如此的最初简洁的回答最终只是故事的一部分。感谢我的朋友提出这个问题并帮助我更多地了解了质数的混乱历史。
*这句话在发表后进行了编辑，以澄清没有其他正整数具有也是整数的乘法逆元。